【人教版】初中数学九年级下册: 比例的稳定性：锐角三角函数的定义与本质

锐角三角函数的本质是直角三角形中“边长比值”关于“角度大小”的函数。其核心逻辑建立在相似三角形的性质之上：只要给定一个锐角 ∠A，无论直角三角形的大小如何变化，其对应边之比始终保持不变。这种“比例的稳定性”实现了从“几何图形”到“代数数值”的跨越。

核心公式体系

在 $Rt\triangle ABC$ 中，对于确定的锐角 $A$：

正弦 (Sine)：$\sin A = \frac{\angle A \text{ 的对边}}{\text{斜边}} = \frac{a}{c}$
余弦 (Cosine)：$\cos A = \frac{\angle A \text{ 的邻边}}{\text{斜边}} = \frac{b}{c}$
正切 (Tangent)：$\tan A = \frac{\angle A \text{ 的对边}}{\angle A \text{ 的邻边}} = \frac{a}{b}$

例题 2 演示

在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle C=90^\circ$，$AB=10$，$BC=6$。

1. 识别边：对边 $a=6$，斜边 $c=10$。
2. 勾股定理求邻边：$b = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$。
3. 计算比值：
$\sin A = \frac{6}{10} = 0.6$；
$\cos A = \frac{8}{10} = 0.8$；
$\tan A = \frac{6}{8} = 0.75$。

🎯 核心逻辑总结

定义：无论 $Rt\triangle ABC$ 的大小如何，只要给定锐角 $A$，则 $\angle A$ 的各边比值就随之确定。当 A, B 均为锐角时，若 A ≠ B，则 sin A ≠ sin B，cos A ≠ cos B，tan A ≠ tan B。这说明函数值与角度大小是一一对应的。

QUESTION 1

分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值。[Image: (1) 斜边 13, 一条直角边 12]

sin A = 12/13, cos A = 5/13, tan A = 12/5

sin A = 5/13, cos A = 12/13, tan A = 5/12

sin A = 12/5, cos A = 5/13, tan A = 13/12

sin A = 13/12, cos A = 13/5, tan A = 5/12

QUESTION 2

在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle C=90^\circ$。如果各边长都扩大到原来的 2 倍，那么 $\angle A$ 的正弦值会如何变化？

扩大到原来的 2 倍

缩小到原来的 1/2

保持不变

变为原来的 4 倍

QUESTION 3

如图，在 $Rt\triangle ABC$ 中，$CD$ 是斜边 $AB$ 上的高，$\angle A \neq 45^\circ$，则下列比值中不等于 $\sin A$ 的是：

$CD/AC$

$BD/CB$

$CB/AB$

$CD/AB$

QUESTION 4

在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle C=90^\circ$，$a=2$，$c=6$，求 $\cos A$ 的值。

$1/3$

2√2 / 3

√2 / 4

$3/2$

QUESTION 5

在 $Rt \triangle ABC$ 中，$\angle C=90^{\circ}$。关于 $\angle A$ 的正弦、余弦关系，下列描述正确的是：

sin² A + cos² A = 1

$sin A + cos A = 1$

$sin A = cos A$

tan A = sin A · cos A